在工廠工作了三個月后被解雇，想要爭取賠償，這是一個涉及勞動者權益保護的常見問題。根據中國的《勞動合同法》，即使是短期工作，勞動者也享有相應的權利。以下是你可以采取的步驟和法律依據：

一、明確解雇性質與法律依據
需要判斷工廠解雇你的原因是否合法。根據《勞動合同法》第三十九條，用人單位可以單方解除勞動合同且無需支付經濟補償的情況包括：試用期不符合錄用條件、嚴重違反規章制度、嚴重失職給單位造成重大損害、同時與其他單位建立勞動關系且拒不改正、被依法追究刑事責任等。如果工廠以這些理由解雇你，且能提供充分證據，你可能無法獲得賠償。
但如果工廠是無故解雇（例如因經營調整隨意裁員），或解雇理由不成立（如未提前通知、未說明原因），則屬于違法解除勞動合同。根據《勞動合同法》第四十六條和第四十八條，用人單位違法解除勞動合同的，應當向你支付賠償金。

二、計算可能的賠償金額

1. 經濟補償金：如果解雇符合法定情形（如工廠裁員或協商一致解除），你可能獲得經濟補償。根據《勞動合同法》第四十七條，經濟補償按勞動者在本單位工作的年限計算，每滿一年支付一個月工資。六個月以上不滿一年的，按一年計算；不滿六個月的，支付半個月工資。你工作了三個月，若符合條件，可主張半個月工資的經濟補償。
2. 賠償金：如果工廠是違法解雇，根據《勞動合同法》第八十七條，用人單位應支付經濟補償標準的兩倍作為賠償金。由于你工作三個月不滿六個月，經濟補償為半個月工資，因此賠償金為一個月工資。
注意：工資計算標準為解雇前12個月的平均工資（不足12個月按實際工作期間平均工資計算）。

三、采取行動步驟

1. 收集證據：保存好勞動合同（如有）、工資條、考勤記錄、解雇通知（書面或聊天記錄等）、工作證等，以證明勞動關系和解雇事實。
2. 協商溝通：首先與工廠人力資源部門或負責人協商，明確提出你的訴求，引用《勞動合同法》條款，要求支付賠償。保持冷靜，記錄溝通內容。
3. 尋求調解：如果協商失敗，可向工廠所在地的勞動監察大隊投訴（電話：12333），或向勞動爭議調解組織申請調解。
4. 申請勞動仲裁：若調解無果，應在解雇之日起一年內，向工廠所在地的勞動人事爭議仲裁委員會申請仲裁，提交仲裁申請書和證據。這是法律訴訟前的必經程序。
5. 法院訴訟：如對仲裁結果不服，可在收到仲裁裁決書后15日內向人民法院提起訴訟。

四、特別提醒

• 試用期權利：三個月工作可能包含試用期（勞動合同期限三個月以上不滿一年的，試用期不超過一個月；一年以上不滿三年的，試用期不超過二個月）。試用期內，工廠解雇也需符合法定條件，否則仍可能違法。
• 未簽合同情況：如果工廠未與你簽訂書面勞動合同，根據《勞動合同法》第八十二條，你有權要求支付雙倍工資（從第二個月起計算）。你工作了三個月，可主張后兩個月的雙倍工資差額，這可以作為額外訴求。
• 法律援助：如果經濟困難，可咨詢當地司法局的法律援助中心，申請免費法律服務。

作為短期勞動者，你仍受法律保護。不要因工作時間短而放棄維權。建議優先通過協商或調解解決，以節省時間和成本；若工廠態度強硬，則果斷采取法律途徑。保持耐心，依法行事，你的合法權益有望得到維護。